khayyam mathematical society

هر چند ضلعي کروي را مي توان به مثلثهايي تجزيه کرد با توجه به فرمول بدست آمده در بالا مساحت يک چند ضلعي برابر خواهد بود باr²(s-(p-r)п) که در آن سs مجموع زواياي کروي چند ضلعي و p تعداد اضلاع چند ضلعي است که  اگرسطح کره به شعاع واحد را به چند ضلعي هاي کروي تقسيم کنيم مجموع مساحت هاي آنها برابر4пr² مي شود که همان مساحت کره است اگر تعداد چند ضلعي ها را با F نمايش دهيم با جمع کردن مساحتهاي آنها بدست مي آوريم:

4п=∑s-п∑p+2пF

مجموع زواياي چندضلعي ها در هرگوشه برابر 2п است پس  ∑s=2пv که در آن v تعداد گوشه هاست همچنين هر يال دو بار در ∑p شمرده شده است پس 2E=∑p که در آن E  يال هاي چند وجهي است بنابراين 4п=2пv-2пE+2пF و از آنجا

2=V-E+F

اين فرمول را فرمول اويلر مي نامند حال اگر يک چند وجهي منتظم داشته باشيم و q  تعداد يال هاي هر وجه باشند،آنگاه

pF=2E=qV

از رابطه بالا و فرمول اويلر بدست مي آوريم

V=4p/2(p+q)-pq         E=2pq/2(p+q)-pq          F=4q/2(p+q)-pq

طرفهاي راست اين سه برابري بايد مثبت باشند بنابر اين 2(p+q)>pq و از آنجا با توجه به اينکه q حداقل 3 است به سادگي مي توان تنها چندوجهي هاي منتظم اجسام افلاطوني اند.