تا پیش از اختراع عددهای دهدهی ، هر واحد را به شصت قسمت برابر تقسیم می کردند و در صورت لزوم ، هر یک از آنها را نیز به شصت قسمت کوچکتر تقسیم می کردند و همین طور ادامه می دادند مانند تقسیم هر ساعت به شصت دقیقه و هر دقیقه به شصت ثانیه .

انجام این محاسبات با این عددها کار بسیار مشکلی بود ، اما حدود 600 سال پیش یک دانشمند این مشکل را برای همیشه حل کرد ، او هر قسمت را به جای تقسیم به شصت به ده قسمت تقسیم کرد.

این ریاضیدان برای اولین بار از عدد دهدهی اختراعی خود ، برای نوشتن عدد پی استفاده کرد. او عدد پی را به کمک 850360368 ضلعی منتظم تا هفده رقم اعشار محاسبه کرد. تا دویست سال پیش ، اعداد اعشاری را به صورت های مختلفی می نوشتند برای مثال به صورتهای 75/4 یا (75) 4 یا 75| 4 .

آیا مخترع عددهای دهدهی را می شناسید ؟ بله ، او کسی نبود جز ریاضیدان و ستاره شناس برجسته ایرانی «غیاث الدین جمشید کاشانی» او در بین دانشمندان به «کاشی» معروف بوده است.

حساب دیفرانسیل از گذشته تاکنون

حساب ديفرانسيل و انتگرال در آغاز براي برآورده کردن نيازهاي دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ريشه هاي اين علمرا ميتوان تا هندسه کلاسيک يوناني ميتوان رديابي کرد. حساب ديفرانسيل و انتگرال به دانشمندان امکان مي داد شيب خمها را تعريف کنند، زاويه آتشباري توپ را براي حصول بيشترين برد بدست آورند، و زمانهايي که سيارات نزديکترين و دورترين فاصله را از هم دارند،پيش بيني کنند. پيش از پيشرفتهاي رياضي که به کشف بزرگ آيزاک نيوتن و لايب نيتس انجاميد،يوهانس کپلر منجم با بيست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سيارات را کشف کرد

اول: هر سياره در مداري بيضي شکل حرکث ميکندکه يک کانونش در خورشيد است

ما در جهانی زندگی می کنیم که اشیا و حوادث پیرامونمان از کفیت های گوناگونی بخوردارند. اموری که هرروزه با آنها مواجه می شویم هرگز از حتمیت برخوردار نیستند. به عنوان مثال در اندازه گیری فاصله ی بین دو نقطه اگر فاصله ی بین دو شهر یا کشور مطرح است از مقیاس کیلومتر و مایل استفاده می شود اما برای اندازه گیری فاصله ی دو نقطه در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه ی دفترمان از مقیاس سانتی متر بهره می گیریم و یا در اندازه گیری ضخامت یک برگ کاغذ مقیاس میلی متر را مورد استفاده قرار می دهیم. همان طور که می بینید از هر مقیاس متناسب با زمینه ی کاری خود استفاده می کنیم . از طرف دیگر هر اندازه یک مقیاس را کوچک کنیم باز هم کمیت های قابل اندازه گیری موجوداند که به مقیاسی کوچکتر نیاز دارند به همین ترتیب کمیت هایی وجود دارد که برای سنجش آن ها مقیاس بزرگتری مورد نیاز است مثلا در علوم کامپیوتری از مقیاس های کیلوبایت ، مگا بایت و … استفاده می شود. بدین ترتیب اندازه گیری های ما هرگز از حتمیت برخوردار نیستند و زمانی که عدد حاصل از یک اندازه گیری ۱۲ است بدون دانستن مقیاس به کار رفته در اندازه گیری هیچ اظهار نظری نمی توان داشت.البته این عدم حتمیت در علومی که مفاهیم مربوط به آن ها قابلیت کمی شدن ندارند بیشتر به چشم می خورد. به عنوان مثال می توان از  علوم جامعه شناسی و روانشناسی که در رابطه ی مستقیم با انسان و رفتار های انسانی قرار دارند نام برد. تا کنون تلاش های بسیاری جهت استخراج قوانین علمی دقیق برای برای انسان و جامعه به عمل آمده است که هیچ یک قادر به محو کردن عدم حتمیت نبوده اند. به این ترتیب باید به دنبال راهی باشیم تا در استدلال های منطقی خود عدم حتمیت را به حداقل برسانیم.

فايده پارادوکسها

۱) ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش؛

۲) تعميق بينش؛

۳) تعميم شيوه هاي استدلال؛

۴) افزايش دقت؛

۵) وضع قوانين زبان شناختي جديد.

بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم! درمنطق پيراسازگار (paraconsistent) مي توان تناقض داشت و بر خلاف رياضيات کلاسيک، چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود.

پارادوکس روز تولد

اگر ۲۳ نفر در اين سخنراني شرکت کرده باشند، احتمال اين که حداقل ۲ نفر روز تولدشان يکي باشد حدود ۵۰% است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند اين احتمال حدود ۰۵/۰%  و اگر بيش از ۶۰ نفر حضور داشته باشند اين عدد بزرگتر از ۹۹% است.

پاردوكسهاي زنون   Zenons Paradoxes

در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد، حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند   ABرا با شروع از نقطه A بپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن  Cبرسيم. براي اين كه  ACپيموده شود، بايد به نقطة وسط آن D برسيم و قس عليهذا. پس نمي توان حتي از  نقطة A حركت كرد        .  A---D---C-------B

در مسابقه دو بين آشيل تندرو و لاك پشت كندرو، آشيل كه كمي عقب تر از لاك پشت است، هيچگاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك پشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند، گرچه آشيل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد.     A------------T------   

پارادوكس لامپ تامسون (Tompson Lamp Paradox ) 

لامپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود، سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود، به مدت يک هشتم دقيقه روشن مي‌شود و قس عليهذا. درست بعد از يك دقيقه لامپ روشن خواهد بود يا خاموش؟

پارادوكس دار غيرمنتظره ( Unexpected Hanging Paradox )

به يك زنداني گفته مي شود كه او در يكي از روزهاي بين شنبه و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد، اما تا روز به دار آويخته شدن، وي نخواهد دانست كه كدام روز اعدام مي شود.او روز پنجشنبه به دار آويخته نمي شود، زيرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد مي فهمد كه اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته شده است كه وي از

روزي كه به دار كشيده مي شود پيشاپيش آگاه نيست. او روز چهارشنبه نيز اعدام نمي شود زيرا اگر تا سه شنبه زنده بماند، با توجه به اين كه بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمي شود، مي فهمد كه روز چهارشنبه اعدام انجام خواهد شد. استدلال مشابه نشان مي دهد كه او در هيچيك از روزهاي ديگر نيز نمي تواند اعدام شود.اما در روزي غير از پنجشنبه جلاد وارد مي شود و وي را اعدام مي كند.

پارادوكس توده ( Sorites Paradox ) 

يك دانة گندم يك تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم، به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم ديگر، سه دانه گندم خواهيم داشت كه توده محسوب نمي شود. اگر اين عمل را تكرار كنيم، هيچگاه به تودة گندم نمي رسيم.اما زماني كه اين گرداية گندم به قدر كافي بزرگ شود، توده ناميده مي

شود.

پارادوكس ريچارد (Jules Richard"s Paradoxesَ)

آيا كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبيعي نا متناهي و تعداد حروف فارسي متناهي است پس عددي وجود دارد كه نمي توان آن را با عبارتي شامل كمتر از صد حرف فارسي تعريف كرد. بنا به اصل خوش ترتيبي در اعداد طبيعي، كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد. اما عبارت بالا كه بين دو نماد ? و ? قرار دارد كمتر از صد حرف ( يعني پنجاه و سه حرف ) دارد، يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد!

پارادوکس خداوند قادر مطلق

آيا خداوند مي تواند سنگي بسازد که نتواند بلند کند؟

پارادوكس اژدها

چگونه مي توانيم راجع به چيزي كه وجود ندارد صحبت كنيم، وقتي كه مي گوييم اژدهاي هفت سر وجود ندارد.?

پارادوكس تخته سياه

تخته سياهي را در نظر بگيريد كه روي آن علاوه بر اعداد ۱، ۲، ۳، جملة كوچكترين عدد طبيعي كه روي اين تخته سياه ارائه نشده است. نوشته شده است. در اين صورت گرچه عدد ۴ روي تخته سياه نمايش داده نشده است، ولي عبارت مذكور روي تخته سياه، مبين ۴ است.

پارادوكس بوچوفسكي ( Buchowski Paradox )

فرض كنيد شما فقط دو برادر داريد كه هر دو از شما مسن تر هستند. در اين صورت جملة به ظاهر غلط ذيل، راست است:  برادر جوانترم از من مسن تر است?

پارادوكس دروغگو( Liar"s Paradox)  يا پارادوكس ائوبوليدس (Eubulides"  Paradox )

مي گويند روزي ائوبوليدس، متفكر يوناني قرن چهارم قبل از ميلاد، گفت: چيزي كه آلان مي گويم دروغ است. اگر گفتة او درست باشد، آنگاه بنا به آنچه گفته است، بايد گفته اش دروغ باشد، واگر گفتة او دروغ باشد، دوباره بنابر آنچه گفته است نتيجه مي شود كه گفته اش درست است.

پارادوكس دور

اين پارادوكس توسط آلبرت ساكسوني در قرون وسطي طرح گرديده است:

جملة P اين است: q دروغ است.

جملة q اين است: P راست است.

نکته جالب اين است كه اگر ما داراي يك نوع منطق سه ارزشي باشيم كه در آن گزاره ها بتوانند فقط يكي از ارزشهاي راست، دروغ  و  نه راست ـ نه دروغرا داشته باشند آنگاه گزارةP   به صورت  P دروغ يا نه راست ـ نه دروغ است نمي تواند هيچيك از ارزشهاي  راست  ،  دروغ  و  نه راست  نه دروغ را به خود بگيرد.

پارادوكس تابلو

اين پارادوكس در ۱۹۱۳ توسط رياضيدان انگليسي جردن (P. E. B. Jourdain) ارائه شد:

تابلوئي داريم كه در يك طرف آن جمله پشت اين تابلو راست است. و در طرف ديگر آن جمله پشت اين تابلو دروغ است نوشته شده است!

پارادوكس سقراط  ( Socrates Paradox )

نقل شده است كه ســـــقراط روزي گفته است: چيزي كه مي دانم اين اسـت كه من هيـچ چيز نمي دانم ?.

پارادوكس جزيرة وحشي ها

در جزيره اي قبيله اي وحشي زندگي مي كردند كه دو خدا، خداي راستي و خداي دروغ داشتند. آنها هر كس را كه به جزيره مي آمد قرباني مي كردند، به اين ترتيب كه از وي سوالي مي پرسيدند، اگر راست مي گفت او را قرباني خداي راستي و اگر دروغ مي گفت، او را قرباني خداي دروغ مي كردند.  روزي شخصي وارد جزيره شد. او را گرفتند و از او

پرسيدند? سرنوشت تو چه خواهد بود؟ آن شخص جواب داد : شما من را قرباني خداي دروغ خواهيد كرد. با اين جواب وحشي ها مستاصل شدند زيرا خواه راست گفته باشد و خواه دروغ بايد هم قرباني خداي راستي شود و هم قرباني خداي دروغ!

پارادوكس آرايشگر ( Barber Paradox) يا پارادوکس راسل (Russell?s Paradox )

در دهكده اي فقط يك آرايشگر وجود دارد. او فقط ريش كساني را مي تراشد كه ريش خود را نمي تراشند. سوال اين است كه ريش خود ريش تراش را چه كسي مي تراشد؟ اگر او ريش خود را نتراشد، بايد نزد ريش تراش يعني خودش، برود تا ريشش را بتراشد و اگر ريش خود را بتراشد، نبايد توسط ريش تراش يعني خودش، ريشش تراشيده شود.

پارادوكس فهرست ( Catalogue Paradox )

كتابداري در حال تدوين يك فهرست كتابشناسي از تمام فهرستهاي كتابشناسي و تنها آنهايي است كه نام خود را در فهرست ذكر نكرده اند.  آيا فهرست اين كتابدار، نام خودش را نيز در بر مي گيرد؟

پارادوكس خود نا توصيف ( Heterological Paradox )

خود ناتوصيف، كلمه اي است كه خودش را توصيف نميكند. پس كلمة "خود ناتوصيف" خود ناتوصيف است اگر و فقط اگر خود ناتوصيف نباشد.

پارادوكس اسمارانداچ (Smarandache Paradox )

فرض كنيد A يكي از عبارات ممكن، كامل و . . . باشد. در اين صورت همه چيز A  است ايجاب مي كند که ~A  نيز A  باشد. مثلاً ‌وقتي مي گوييم  همه چيز ممكن است ، نتيجه مي شود كه غير ممكن نيز ممكن است ، يا از  هيچ چيز كامل نيست  اين كه  كامل نيز كامل نيست  مستفاد مي شود.

پارادوكس كانتور( Cantor"s Paradox )

فرض كنيد Aمجموعه همة مجموعه ها باشد، پسP(A)=A و لذا ( card(P(A))=card(A از طرفي بنا به قضية کانتور( card(P(A))

پارادوکس نيوکام

فرض کنيد دو جعبه A و B داده شده باشد. سر جعبه A باز و سر جعبه B بسته باشد. A  شامل ۱۰۰۰ دلار و B شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دلار است و يا شامل هيچ چيز نيست. شما بايد فقط جعبه B را انتخاب کنيد و يا هر دو جعبه A و B را. اما قبل از اين که شما انتخاب خود را انجام دهيد، پيشگويي بر اساس انتخابي که شما انجام خواهيد دا د در جعبه ‌‌ B ،

۱۰۰۰۰۰۰د اگر شما فقط جعبه B را انتخاب کنيد و هيچ چيز نمي گذارد اگر شما هر دو جعبه A وB  را  انتخاب کنيد.

سوال: اگر شما به انتخاب فقط B تمايل داشته باشيد، مي توانيد  A را نيز انتخاب

کنيد؟

فكر مي‌كنم با اوضاع و احوال كنوني كه هر محاسبه‌‌اي از هر قسم و هر نوع با زدن يك دكمه توسط نرم‌افزارهاي متنوع انجام مي‌شود صحبت از اين‌كه خواندن رياضيات از ملزومات زندگي روزمره است كمي ساده‌انگارانه باشد‌‌. ديگر آن زمان كه لازم بود بسياري چيزها ياد بگيريم تا بتوانيم منحني يك تابع را رسم كنيم گذشته است‌‌. امروزه اين كار حتي از عهده‌‌‌‌ي ساده‌ترين ماشين‌حساب‌ها نيز بر‌مي‌‌آيد‌‌. ديگر آن روز‌‌ها كه به بچه‌ها مي‌گفتيم كه حتي اگر وارد كار تجارت نيز بشويد باز براي رسيدگي به حساب و كتاب‌هايتان بايد رياضيات بدانيد سپري شده است. تمام اين كارها توسط نرم‌افزارهايي كه به‌سادگي در دسترس همگان است انجام مي‌شود.

پس‌‌، راستي چرا رياضيات مي‌خوانيم؟ به نظر من اين سؤال وقتي قابل بحث و بررسي است كه نگاهي كمي كلي‌‌تر به برنامه‌ي آموزش عمومي داشته باشيم‌‌. از رياضيات كه بگذريم راستي، اصلاً چرا زیست یا فيزيك يا شيمي يا ادبيات . . . مي‌خوانيم؟ هدف آموزش عمومي چيست؟ شما در اين مورد چه فكر مي‌كنيد؟

آن‌چه مي‌‌‌بينيد نظر من است‌‌. شما هم اگر نظري داريد منتظريم:

هدف اساسي و اصلي آموزش عمومي (اگر‌چه در كشور ما گم شده است) آموختن شيوه‌ي تفكر و استدلال به دانش‌آموزان است. اگر به اين هدف توجه كنيم بقيه‌ي كارها بسيار ساده است‌‌. فكر مي‌‌كنم موافقيد كه نمي‌توانيم بچه‌ها را سر كلاس بنشانيم و بگوييم‌‌: «‌خُب‌‌، قرار است كه فكر كنيم و فكر كردن را ياد بگيريم‌‌‌‌» فكر كردن نياز به ابزار و بهانه دارد‌. حال گستره‌ي اين ابزارها و بهانه‌‌ها مي‌تواند بسيار وسيع باشد. ممكن است فكر كنيم كه حالا كه قرار است فكر كردن را تجربه كنيم و استدلال و تحليل‌كردن را ياد بگيريم‌‌، بهترين ابزار چيزي مثل فلسفه يا منطق است. اما خُب‌‌، دقت كنيد كه اصلاً نمي‌شود با يك ‌كودك يا نوجوان در مورد فلسفه و چيزهايي مثل وحدت وجود يا كثرت وجود يا پديدار‌شناسي و هرمنوتيك و . . . حرف زد. رياضيات، فيزيك‌، شيمي‌، ادبيات و . . . همگي ابزارهايي هستند كه اين بهانه‌‌ها را فراهم مي‌كنند و در عين حال زمينه‌ساز پديدآمدن يك ذهن آماده براي ورود به رشته‌هاي مختلف دانشگاهي هستند‌‌. شايد اين چيزها را (‌باز هم مثل خيلي چيزهاي ديگر) فرنگي‌ها بسيار بهتر و كامل‌تر از ما فهميده‌اند. چندي پيش يك كتاب پيش‌نياز جبر را كه براي دوره كالج نوشته شده بود بررسي مي‌‌كردم. آن‌چه ديدم خيلي ساده بود: مطالب آن كتاب در سطح سال سوم راهنمايي و حداكثر اول دبيرستان كشور ماست.

 راستش را بخواهيد بچه‌هاي ما در دوره‌ي دبيرستان (‌‌سه سال آموزش متوسطه و يك سال پيش‌دانشگاهي‌‌) تقريباً تا سطح درس‌هاي سال دوم دوره‌ي دانشگاه‌هاي كشور‌هاي خارج را مي‌خوانند‌‌. اما در كمال تعجب ما در هيچ‌كدام از رشته‌هاي علوم محض (‌رياضي‌‌، فيزيك‌‌‌‌، شيمي‌‌ و . . .‌‌‌) نظريه‌‌‌پرداز و محقق نداريم‌. ما فكر مي‌‌كنيم هر چه‌قدر بيش‌تر بخوانيم و هرچه بتوانيم مسائل بيش‌تري حل كنيم حتماً موفق‌تريم. چندي پيش يكي از كساني كه مي‌شناختم با تعجب تعريف مي‌كرد كه فلان استاد دانشگاه شريف بلد نبود يك انتگرال ساده را محاسبه كند و وقتي اين را تعريف مي‌كرد بسيار حيرت‌‌زده بود كه چه‌طور چنين چيزي ممكن است. آن‌چه او توجه نكرده بود اين بود كه محاسبه‌‌ي يك انتگرال چندان مهم نيست. آن‌چه لازم است قوه‌‌ي تحليل و تفكر است‌‌. متأسفانه با نظام فعلي آموزش و پرورش و بدتر از آن با شيوه‌ي كنوني پذيرش دانشجو (‌كنكور سراسري و دانشگاه آزاد‌‌)‌‌، تقريباً پرونده هرچه تفكر و تعقل و تحليل بسته است و تنها نكته‌‌ي مهم براي دانش‌آموزان و معلمان كسب درصد‌‌هاي بيش‌‌تر در اين مسابقه است.

خُب‌‌‌، شايد با اين حرف‌‌ها برسيم به يك نقطه‌‌ي كور‌‌، آموزش دانش‌‌آموزان كه به عهده‌‌ي وزرات آموزش و پرورش است و پذيرش آن‌ها هم با سازمان سنجش‌‌، پس براي ما چه مي‌ماند‌‌. باز هم همان بحث جهان سومي بودن و . . . اما قضيه‌‌‌، ساده‌تر از اين حرف‌ها است‌‌. شايد شما با دانش‌‌‌‌آموزي سر و كار داريد كه در حال درس خواندن است‌‌، بچه‌هاي خودتان‌، برادرتان‌‌، خواهرتان‌‌، برادرزاده‌، خواهرزاده‌، همسايه و يا . . . خُب‌‌، حالا چه‌كار مي‌توانيد بكنيد‌‌؟ بگذاريد يك سؤال ساده بپرسيم.

دانش‌‌آموزي كه در دبستان درس مي‌خواند و به او گفته‌اند كه محيط دايره برابر) يعني قطر ضرب‌ در عدد پي(  است‌‌. اگر او از شما بپرسد چرا قطر ضرب‌در عدد پي‌‌؟ چه جوابي مي‌دهيد‌‌؟

آيا مي‌گوييد‌: «‌خُب‌‌، رياضي‌دان‌ها قبلاً بررسي كرده‌اند كه محيط دايره تقريباً برابر حاصل‌ضرب عدد پي در قطر آن است‌‌» اگر اين جواب را بدهيد و من آن دانش‌آموز باشم نتيجه مي‌‌گيرم كه شما داريد حاشيه مي‌‌‌رويد و خودتان هم جواب را نمي‌‌دانيد‌‌‌. چه راهي براي توضيح اين مطلب سراغ داريد‌؟ مثالي كه زدم چندان اهميت ندارد (‌راستي جوابش را مي‌دانيد‌‌؟‌‌!‌‌) مهم آن است كه در ذهن يك دانش‌آموز هميشه يك «‌چرا‌؟‌‌» زنگ بزند‌‌. هر‌چه كه مي‌خواند يا مي‌شنود فوري فكر كند «‌چرا‌؟‌‌» (‌اگر‌‌چه باز هم در كشور ما خيلي از اين چراها جواب ندارد‌‌!‌‌‌‌) هدف از خواندن رياضيات همين است‌‌‌‌. يعني هدف اصل‌اش همين است و بقيه‌‌ي چيزها يعني مهارت در محاسبات و يادگرفتن حد و مشتق و انتگرال و از اين جور چيزها همه فرعي‌اند‌‌. باور نمي‌كنيد يك نفر را كه رياضيات را اين‌‌جوري ياد گرفته باشد بياوريد تا من هر‌چه را كه مي‌خواهيد يادش بدهم‌‌. (خيلي حرف بزرگي بود، نه؟!)

اگر با خواندن اين سطرها كمي احساس افسوس و حسرت داريد كه اي واي پس چرا ما اين‌‌طوري نبوديم و نخوانديم و يا چرا با ما اين‌‌‌جوري رفتار نكردند، اصلاً اشكالي ندارد چون يكي آن‌‌كه از الآن به بعد هم دير نشده است‌‌، لازم نيست رياضيات بخوانيد فقط كمي بيش‌‌‌تر بگرديد و كنجكاو باشيد و فكر كنيد‌‌، كمي هم بيش‌‌تر بپرسيد چرا‌‌؟ و دوم و مهم‌تر از اولي آن‌كه به كودكان و نوجوانان دور و برتان توجه كنيد‌‌، هر‌‌‌‌چه مي‌توانيد بكنيد تا در آن‌‌ها يك روحيه‌ي پرسش‌گر ايجاد كنيد.

آشوب،یا آنچه در انگلیسی chaos خوانده می شود چیست؟

در مبحث واژگان این کلمه انسان را به یاد بی نظمی می اندازد.به یاد حالتی که هیچ چیز بر سر جای خود نباشد.اما آیا واقعا چنین است؟!!!

مطالعه در مورد این مبحث در حقیقت از مطالعات هواشناسی شروع شد.چندی از دانشمندان هواشناسی مشغول مطالعه در مورد شرایط جوی و تاثیر موارد مختلف بر هوای جهان و منطقه داشتند.آنان به مدت دو سال مشغول مطالعه هوای یک منطقه خاص  دارای آب و هوای نسبتا بی تغییر و کاملا معتدل بودند و تمامی تغییرات را ثبت می کردند.یک دستگاه ثبت نمودار تغییرات جوی هر روز راس ساعت شش صبح روشن می شد و نمودار تغییرات را تا شش بعد از ظهر ثبت می کرد.اما در پاییز سال دوم ناگهان نمودار این تغییرات به طرز عجیبی عوض شد.یعنی نموداری مغشوش به ثبت رسید که نشانه بروز تغییرات شدید جوی بود،اما آن چه به چشم دیده می شد هیچ تغییری مشاهده نمی کرد.دانشمندان شروع به مطالعه در این مورد کردند تا دلیل این تغییر را دریابند اما متوجه هیچ چیز نشدند.پس از پاییز همه چیز دوباره عادی شد.این امر آنان را بر آن داشت تا یک سال دیگر مطالعات خود را در آن محل ادامه دهند.در پاییز سال بعد آنها همه چیز را تحت نظر داشتند.در این سال نتیجه مشاهدات خود را پیدا کردند.در نزدیکی آن محل دریاچه ای بود که گروهی از پرندگان مهاجر در پاییز به آنجا می رفتند.آن چه باعث تغییر شدید در نمودار می شد همین پرندگان بودند.پرواز دسته جمعی این پرندگان باعث می شد تا حرکت بال های آنان فشاری بر جو بیاورد و این فشار به مولکول های کناری هوا منتقل می شد و نهایتا به سنسور ثبت نمودار دستگاه می رسید.یکی از دانشمندان کنجکاو در پی آن شد که متوجه شود اگر این پرندگان آنجا نبودند چه می شد.وی با استفاده از یک برنامه کامپیوتری موقعیت منطقه را شبیه سازی کرد و برنامه را یکبار با حضور پرندگان و یکبار بدون حضور آنان اجرا کرد.هنگامی که پرندگان وجود داشتند کامپیوتر شرایط را دقیقا همان طور که در واقعیت بود نشان داد.اما بدون حضور پرندگان طوفانی بزرگ در منطقه شکل می گرفت که باعث تخریب تقریبا 12 هکتار از آن منطقه می شد.در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می شد که شرایط شکل گیری این طوفان پیش نیایند...
پس از مطالعات جدی تر و عمیق تر و شبیه سازی جو جهان آنان به نتیجه ای رسیدند که مهم ترین شعار نظریه آشوب نام گرفت: پروانه ای در آفریقا بال می زند و گردبادی در آمریکای جنوبی شکل می گیرد.

فشاری که بال زدن آن پروانه بر اتمسفر می آورد شاید بسیار ناچیز باشد، اما فرایند تشدید باعث می شود که این فشار ناچیز و اندک به مرور و پس از طی مسافتی تبدیل به یک طوفان عظیم شود.
در جای دیگری، گروهی از دانشمندان علم ژنتیک مشغول مطالعه بر نقشه ژنتیکی قورباغه ها بودند.آنان سعی داشتند تا نقشه ژنتیکی این موجودات را تهیه کنند و از آن در راه پیشرفت دانش ژنتیک استفاده کنند.برای جلوگیری از زاد و ولد قورباغه ها و کنترل وضعیت آزمایشگاهی آنان تصمیم گرفتند که تنها از قورباغه های نر استفاده کنند.پس از حدود یک سال مطالعه ناگهان چیزی غریب اتفاق افتاد.روزی آنان متوجه شدند که پنج قورباغه به تعداد قورباغه ها افزوده شده است!!!

پس از مطالعه آنان متوجه شدند که برای جلوگیری از انقراض نسل، در قورباغه ها جهشی ژنتیکی اتفاق افتاده است و این گروه از قورباغه ها شش ماه از سال را نر و شش ماه را ماده اند.در فاصله تغییر جنسیت آنان در بدنشان تولید مثل می کنند.و این امر باعث ایجاد شعار مهم دوم نظریه آشوب گشت: زندگی برای بقا راه خود را خواهد یافت.

 این نظریه در ابتدا تنها یک نظریه بود.(hypothesis)اما مطالعات بعدی آن را به یک تئوری تبدیل کرد.مطالعات بیشتر آن را به حد علم نیز رساندند.به طوری که امروزه از آشوب در معماری و عمران نیزاستفاده می شود.چرا که یکی از اصولی که این علم بیان می کند این است که هیچ چیز قابل پیش بینی نیست.به دلیل این که حیات راه خود را خواهد یافت.حتی اگر با دقت بسیار زیاد شرایط را کنترل کنیم،به این دلیل که خود ما نیز جزئی از مساله هستیم،دچار اشتباه خواهیم شد.مثال زیر را در نظر بگیرید:

اگر ما به دنبال این باشیم که در این شکل یک نظم و یک معادله پیدا کنیم شاید هیچ گاه نتوان به فرمولی رسید.اما از آنجا که باید برای توضیح انحرافات خطی در این شکل الگویی قابل توضیح وجود داشته باشد با استفاده از هندسه غیر اقلیدسی به چندین فرمول می رسیم که بخش اعظمی از این شکل را توضیح می دهد، اما برای بقیه این شکل توضیحی نداریم. بنا براین دست به ایجاد شاخه ای جدید در ریاضیات و هندسه می زنیم تا بتوانیم آن را توضیح دهیم. همین مساله به عدم قطعیت ختم می شود.یعنی ایجاد شرایط جدید باعث ایجاد علوم جدید می شود که گاهی تمام علوم قدیمی را زیر و رو می کند.

حالا بیایید تا همان شکل را بطور کامل ببینیم:

مشاهده می کنیم که تمامی بی نظمی موجود در آن شکل منجر به نظمی بزرگ شد.یعنی ایجاد یک خط راست.اما به دلیل این که ما درون شکل قرار داشتیم نتوانستیم به نظم کلی آن پی ببریم و به اشتباه کشیده شدیم.عین همین مساله را می توان در جهان جستجو کرد.دنیای اطراف ما پر از روابطی است که ما قادر به فهم آنان نیستیم و برای توضیح و توجیه آنان دست به ایجاد علوم مختلف می کنیم.علومی که هیچ کدام قطعیت ندارند و به گفته علم آشوب قابل پیش بینی نیستند...

اصولاً تو وبلاگ انجمن ریاضی خیلی کم پیش میاد که مطالبی غیر مرتبط با ریاضیات ببینید...امروز تصمیم گرفتم که هراز چند گاهی این جور مطالب غیر ریاضیاتی و البته مفید رو تو وبلاگ قرار بدم...با امید رضایت خاطر خوانندگان و پویایی بیشتر وبلاگ

ليوان را زمين بگذار

ايده دترمينان براي اولين بار در سال 1683 ظاهر شد . سكي (Seke) در كتاب حل مسائل فريبنده خود

روش هاي ماتريسي را به عنوان جدول هاي اعداد مشابه سبك چيني معرفي كرده است.سكي با

بكارگيري دترمينان ها قادر بود  دترمينان ماتريس هاي با مرتبه هاي بالا را نيز محاسبه كند و

روش هايش را در حل دستگاه معادلات چند مجهولي بكار گيرد.

همچنين ليبنيز (Leibniz) به صورتي قابل توجه در نامه اي به هوپيتال توضيح داد كه دستگاه معدلات

داراي جواب است اگر

منظور ليبنيز از اعداد بالا ضرايب عددي نبود .بلكه دو علامت بود كه اولي بيانگر شماره معادله و

دومي بيانگر متغيري است كه اين علامت به آن تعلق دارد.به عنوان مثال در عصر حاضر ممكن است

 بجاي 21 از نمادa₂₁  استفاده كنيم.مشاهده مي كنيم كه شرط فوق دقيقا همان شرط ناصفر بودن

 دترمينان ماتريس ضرايب را بيان مي كند.

حال ممكن است اين سوال پيش آيد كه دترمينان چيست و چگونه تعريف مي شود.

در جواب مي توان گفت D(A) يك تابع با خاصيت دترمينان است هرگاه چهار شرط زير را داشته باشد:

اگر هر ستون ماتريس A را با a_i نشان دهيم داریم:

با بررسي خواص دترميناني در توابع تنها يك تابع دترميناني مي توان يافت. اين تابع اينگونه تعريف

مي شود:

در اين ضابطه jشماره ستون در ماتريس است و iيكي از سطرهاي دلخواه است كه دترمينان را روي

درايه هاي آن سطر محاسبه مي كنيم.(براي سادگي محاسبه بهتر است سطري را انتخاب كنيم كه

بيشترين تعداد صفر را داشته باشد.)

A_ij  نيز ماتريسي است كه از حذف سطر iام و ستون jام از ماتريس A بدست مي آيد. اين عمل را

آنقدر تكرار مي كنيم تا A_ij يك ماتريس 2*2 شود . به اين ترتيب مي توان دترمينان ماتريس A  از هر

 مرتبه دلخواه را محاسبه كرد.

مثال: مي خواهيم دترمينان ماتريس                      را حساب كنيم.

فرمول محاسبه را بر حسب سطر اول بكار مي بريم:

همين طور اگر فرمول را بر حسب سطر دوم بسط دهيم جواب مشابه مي يابيم:

به عنوان تمرين دترمينان اين ماتريس را بر حسب سطر سوم پيدا كنيد.

با اینکه حدود یک هفته از این مهم میگذره اما:

از طرف انجمن ریاضی خیام

کسب رتبه سوم مسابقات المپیاد دانشجویی جهان توسط دانشجویان

دانشگاه صنعتی شریف را به جامعه ریاضی ایران تبریک عرض میکنیم.

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ...

البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...

و یا :

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و ...

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :

f_n =  Phi ⁿ / 5^½

که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

براي شمردن تعداد گوشه هاي وجوه و يال هاي چند وجهي منتظم روشهاي ساده وجود دارد روشي جالب رسم نمودار يالهاو گوشه هاي چند وجهي منتظم درصفحه است.مثلاَّ به ظاهر مکعب توجه کنيد.با توجه به پرسپکتيو عکسي مانند شکل6(الف) مشاهده مي کنيد:

 با بزرگتر کردن يکي از وجوه به مقدار کافي مي توان نموداري مانند بالا براي هر يک از چند وجهي هاي منتظم رسم کرد:

دفعه ديگر اگر کسي از سخت بودن رياضيات شکايت کرد ، طرفداران رياضيات مي توانند با گفتن اين جمله که:" حتي يک بچه شش ماهه هم مي تواند اين کار را انجام دهد" از خودشان دفاع کنند. دانشمندان از طريق مانيتور کردن مغز شيرخواران اثبات کرده اند، شيرخواراني که فقط شش ماه سن دارند مي توانند اشتباهات رياضي را تشخيص دهند. اين کشف به يک مشاجره ده ساله در اين زمينه پايان مي دهد. گروهي آمريکايي و اسرائيلي، 24 شيرخوار را در معرض يک نمايش عروسکي ويدئويي قرار دادند. آنها از عروسکها براي انجام عمل جمع و تفريق استفاه کرده وواکنش عروسکهارا مشاهده کردند.براي مثا ل انها اين نمايش رابادوعروسک اغازکردندوقبل از پايان نمايش يک عروسک خارج شده وسپس چشمهاي شيرخوارتوسط يک پرده پوشانيده شد.زماني که پرده به کنار رفت دوحالت اتفاق افتاد درحالت اول مطابق انتظار يک عروسک ودر حالت دوم بر خلاف منطق رياضي دوعروسک باقي ماند.شيرخواران زماني که تعداد  عروسکها دو تابوده وبا جواب 1=1- 2 مغايرت داشت، براي مدت زمان بيشتري به پرده خيره مي شدند (04/8).

به طور ميانگين زماني که بر روي پرده تعداد صحيح عروسکها نمايش داده مي شد، شيرخواران براي 94/6 ثانيه به آن خيره مي ماندند.

در طول آزمايش برروي سر کودکان، توري حاوي 128 گيرنده گذاشته شده بود که فعاليت مغز را مانيتور مي کردند. تحليل داده ها نشان داد، فعاليت مغزي کودکان در زمان مواجهه با پاسخ هاي درست و نادرست رياضي، مشابه بزرگسالان است. به گفته ي مايکل پوسنر، استاد روانشناسي دانشگاه ارگون، اين امر نشان مي دهد آناتومي مغز بزرگسالان و کودکان مشابه يکديگر است. اين يافته که در شماره پانزدهم گزارشات آکادمي ملي علوم به چاپ رسيده است، با اين عقيده که مغز از شيرخوارگي تا بلوغ دست خوش تغييرات اساسي مي شود، منافات دارد. وي مي گويد: نتيجه گيري مهم تر براي ما اين است که نظام مديريتي مي بايست در دوران کودکي ريشه داشته باشد. پژوهشهاي قبلي نشان داده بودند اين سيستم که با تصميم گيري و انجام وظيفه ارتباط دارد، تا سن 5/2 سالگي کامل نمي شود. ساير پژوهش ها نشان داده اند مهارت هاي رياضي بسيار زود ايجاد ميشوند. در يک مطالعه نشان داده شده است توانايي تشخيص و جفت و جور کردن اعداد در کودکان وجود دارد. آنها زماني که دو صدا را شنيدند، به تصوير دو چهره خيره شدند و زماني که سه صدا را شنيدند به تصوير سه چهره نگاه کردند. مطالعه اي ديگر نشان داده است، يک کودک پنج ساله مي تواند عمليات نسبتا پيچيده رياضي را انجام داده و براي مثال محاسبه کند که آيا جمع دو عدد، بزرگتريا کوچک تر از عدد سوم است يا خير.

ایجاد مارپیچ اعداد بسیار ساده است و برای ساختن آن کافیست شما تمام اعداد صحیح و مثبت را بر روی یک نوار مارپیچی(حلزونی) مرتب کنید به شرطی که صفر در ابتدای این نوار قرار گیرد. نکته اصلی در چیدن اعداد، قرار دادن اعداد مربع کامل مانند ۱، ۴، ۹ و … بر روي يك رديف و در سمت راست مي باشد.اگر روند چيدن اعداد را به صورت ذكر شده در بالا ادامه دهيم نتيجه اي مشابه حاصل مي شود. کمی دامنه دید خود را بالاتر می بریم و این چیدن را تا ۲۰۲۶ عدد صحیح ادامه می دهیم . اکنون اگر اعداد اول روی مارپیچ را کمی پررنگ تر کنیم با من هم عقیده خواهید شد که اعداد اول در امتداد خم های خاصی قرار دارند .
بگذارید دامنه دیدمان را بیشتر کنیم تا ابهامی باقی نماند. مارپیچ اعداد تمام اعداد اول واقع در ۴۶۵۶۵ عدد صحیح و مثبت ابتدایی را در بر میگیرد که برای وضوح اعداد غیراول را از آن حذف کرده ایم. به نظر می رسد اعداد اول، روی بعضی خمها با امتداد شمال غربی و جنوب غربی دارای تراکم بیشتری می باشند. نقطه امید ریاضیدانها برای پیدا کردن فرمول اعداد اول همین خمها هستند. به عنوان نمونه خم مشخص شده با فلش آبی رنگ را در نظر بگیرید. فرمول اعداد واقع روی این خم به صورت زیر می باشد که همان فرمول معروف اویلر برای ایجاد اعداد اول است. 
x(x+۱)+۴۱