khayyam mathematical society

تا پیش از اختراع عددهای دهدهی ، هر واحد را به شصت قسمت برابر تقسیم می کردند و در صورت لزوم ، هر یک از آنها را نیز به شصت قسمت کوچکتر تقسیم می کردند و همین طور ادامه می دادند مانند تقسیم هر ساعت به شصت دقیقه و هر دقیقه به شصت ثانیه .

انجام این محاسبات با این عددها کار بسیار مشکلی بود ، اما حدود 600 سال پیش یک دانشمند این مشکل را برای همیشه حل کرد ، او هر قسمت را به جای تقسیم به شصت به ده قسمت تقسیم کرد.

این ریاضیدان برای اولین بار از عدد دهدهی اختراعی خود ، برای نوشتن عدد پی استفاده کرد. او عدد پی را به کمک 850360368 ضلعی منتظم تا هفده رقم اعشار محاسبه کرد. تا دویست سال پیش ، اعداد اعشاری را به صورت های مختلفی می نوشتند برای مثال به صورتهای 75/4 یا (75) 4 یا 75| 4 .

آیا مخترع عددهای دهدهی را می شناسید ؟ بله ، او کسی نبود جز ریاضیدان و ستاره شناس برجسته ایرانی «غیاث الدین جمشید کاشانی» او در بین دانشمندان به «کاشی» معروف بوده است.

چند وقتی بود که در شاخه تاریخ ریاضی مطلبی پست نکرده بودم...این بار میریم سراغ یکی از مشاهیر
ایران زمین و گل سرسبد اونها حکیم عمر خیام...ریاضیدان و شاعری که من واقعا عاشق اشعارشم...و به خصوص این شعر زیباش که میگه:

از آمدنم نبود گردون را سود                وز رفتن من جاه و جلالش نفزود
از هیچکسی نیز دو گوشم نشنود       کاین آمدن و رفتنم از بهر چه بود

اما....

"حکیم غیاث‌الدین ابوالفتح عُمَر بن ابراهیم خیام نیشابوری" یا به طور خلاصه "خیام"

چند وقتی بود که یادی از دانشمندای زحمتکش علم ریاضی نکرده بودمامروز قصد دارم در مورد پوانکاره مطلب بزنم...دوستانی که مبانی هندسه پاس کردن حتما در مورد مدل پوانکاره در قسمت هندسه نااقلیدسی مطلب خوندن

ژول هاری پوانکاره (1854-1912) در آغاز قرن بيستم در سطح جهاني به عنوان بزرگترين رياضيدان نسل
خود شناخته شد. در سال ۱۸۷۹ دوران دانشگاهي خود را در کان آغاز کرد, و تنها دو سال بعد به استادي
دانشگاه سوربن منصوب شد. بقية عمر خود را در آنجا به سر برد, و هر سال موضوع متفاوتي را تدريس کرد.
در سخنرانيهايش‐ که توسط دانشجويان او ويرايش شد و به چاپ رسيد‐ با ابتکار و تسلط فني فراوان, درواقع تمامي زمينه هاي معروف رياضيات محض و کار بسته, و بسياري از زمينه هايي را که قبل از کشف توسط وي ناشناخته بودند, مورد بحث قرار داد. روي هم رفته بيش از ۳۰ کتاب فني دربارة فيزيک رياضي و مکانيک سماوي, شش کتاب در سطح عامه فهم, و تقريبًا ۵۰۰ مقالة پژوهشي در رياضيات نوشت. وي متفکرين سريع الانتقال, قوي, و خستگي ناپذير بود که به جزئيات نمي پرداخت و به قول يکي از معاصرانش «يک فاتح بود, نه يک استعمارگر». از موهبت حافظة عجيبي نيز برخوردار بود, و برحسب عادت, در حين قدم زدن در اطاق مطالعة خود در مغزش ب رياضيات مي پرداخت و فقط پس از آنکه آن را در ذهنش تکميل مي کرد, بر روي کاغذ مي آورد. بيش از ۳۲ سال نداشت که به عضويت فرهنگستان علوم برگزيده شد.
 عضوي از فرهنگستان که او را براي عضويت پيشنهاد کرد گفت که «کارش مافوق تمجيد عادي است, و لاجرم آنچه را که ياکوبي دربارة آبل نوشت به يادمان مي آورد: او مسايلي حل کرده که قبل از خودش به تصور درنيامده بودند.»
نخستين دستاورد بزرگ رياضي پوانکاره در آناليز بود. او ابداع نظرية توابع خود ريخت, مفهوم دوره اي بودن يک تابع را تعميم داد. توابع مثلثاتي و نمايي مقدماتي, دوره اي يگانه و توابع بيضوي دوره اي دوگانه هستند. توابع خد ريخت پوانکاره تعميم گسترده اي از اين توابع را تشکيل مي دهند, زيرا اين توابع تحت يک گروه شماراي نامتنهاهي از تبديلات کسري خطي, پايا هستند و نظرية غني توابع بيضوي را به عنوان جزء دربرمي
گيرند. او از آنها براي حل معادلات ديفرانسيل خطي با ضرايب جبري استفاده کرد و همچنين نشان داد که چگونه مي توان ار اين توابع در يکنواخت کردن منحنيهاي جبري, يعني, بيان مختصات هر نقطة واقع بر چنين منحني برحسب توابع تک مقداري y(t), x(t)c از يک پارامتر واحد t، استفاده کرد. در دهه هاي 1880 و ۱۸۹۰ ميلادي توابع خود ريخت به صورت شاخة گسترده اي از رياضيات درآمد که (علاوه بر آناليز) به قلمروهاي نظرية گروه ها, نظرية اعداد, هندسة جبري, و هندسة غيراقليدسي راه يافته است.
نکتة اساسي ديگري از فکر پوانکاره را مي توان در پژوهشهايش دربارة مکانيک سماوي يافت (روشهاي نوين
مکانيک سماوي‐ در سه جلد ۱۸۹۲-۱۸۹۹ ). در خلال اين کار نظرية بسطهاي مجانبي خود را ارائه کرد
( که باعث توجه به سريهاي وارگا شد), پايداري مدارها را مطالعه کرد, و نظرية کيفي معادلات ديفرانسيل غيرخطي را پايه گذاري کرد. بررسيهاي مشهورش در بررسي تکامل اجسام سماوي او را به مطالعة اشکال تعادل جرم سيال درحال دوراني که ذراتش به وسيلة جاذبة ثقلي به هم پيوسته است, هدايت کرد, و شکلهاي گلابي واري را کشف کرد که بعدًا در کار سر ج.ه. داروين (فرزند چارلز داروين) نقش مهمي ايفا کردند.
پوانکاره, در خلاصة اين کشفيات, مي نويسد: « يک جسم سيال درحال دوران را که در اثر سرد شدن منقبض مي گردد درنظر مي گيريم, ولي فرض مي کنيم که اين انقباض آنقدر آهسته صورت مي گيرد که جسم همگن باقي مي ماند و دوران کلية قسمتهاي جسم يکسان است. شکل جسم که در ابتدا با تقريب
زيادي کروي است به يک بيضوي دوار تبديل مي گردد که پهن تر و پهن تر مي شود, آنگاه, در لحظة خاصي, به يک بيضوي با سه محور نابرابر تبديل مي شود سپس, جسم از صورت بيضي وار خارج و به گلابي وار تبديل مي شود تا سرانجام جرم جسم, که در ناحية کمر, بيشتر و بيشتر باريک مي شود, به دو جسم مجزا و نابرابر تجزيه مي شود». اين ايده ها در عصر خود ما بيشتر مورد توجه قرار گرفته است, زيرا اخيراً متخصصين ژئوفيزيک به کمک اقمار مصنوعي دريافته اند که زمين خود اندکي گلابي شکل است.
بسياري از مسائلي که پوانکاره در اين دوره با آنها مواجه گرديد بذرهاي شيوه هاي جديد تفکر بودند, که در رياضيات قرن بيستم رشد کردند و شکوفا شدند. سريهاي واگرا و معادلات ديفرانسيل غيرخطي را قب ً لا متذکر شده ايم. علاوه بر آنها, کوشش او براي درک ماهيت منحنيها و سطوح در فضاهايي با ابعاد بالاتر منجر به مقالة مشهورش تحت عنوان تحليل موضعي (توپولوژي) ( ۱۸۹۵ ) گرديد, که همة افراد اهل فن متفقًا آن را
آغاز تاريخ نوين در توپولوژي جبري مي دانند. همچنين, در مطالعة خود در زمينة مدارهاي دوره اي, رشتة ديناميک توپولوژي (يا کيفي) را بنا نهاد.
در اينجا نوعي مسئلة رياضي مطرح مي شود که نمايانگر آن, قضيه اي است که پوانکاره در سال ۱۹۱۲ ميلادي مطرح کرد, ولي عمرش کفاف نداد تا آن را ثابت کند: چنانچه تبديلي يک به يک و پيوسته, حلقة محصور بين دو دايرة متحدالمرکز را چنان در خود تصوير کند که مساحتها حفظ شود و نقاط دايرة دوراني را در جهت حرکت عقربه هاي ساعت و نقاط دايرة بيروني را در
جهت خلاف حرکت عقربه هاي ساعت به حرکت درآورد, آنگاه, در اين تبديل حداقل دو نقطه بايد ثابت بمانند. اين قضيه کاربردهاي مهمي در مسئلة کلاسيک سه جسم (و نيز در حرکت يک توپ بيليارد برروي ميز بيليارد محدب) دارد. در سال ۱۹۱۳ اثباتي براي اين قضيه توسط يک رياضيدان جوان آمريکايي به نام بيرکهوف يافته شد. کشف قابل ملاحضة ديگر پوانکاره در اين زمينه, که امروزه به قضية بازگشت پوانکاره معروف است, به رفتار دراز مدت دستگاههاي ديناميکي پايستار مربوط مي شود. به نظر مي رسيد که اين نتيجه, بيهودگي کوششهاي اخير در به دست آوردن قانون دوم ترموديناميک از مکانيک کلاسيک را نشان مي دهد, و مباحثة ناشي از آن مأخذ تاريخي نظرية ارگوديک نوين بوده است.
يکي از برجسته ترين خدمات فراوان پوانکاره به فيزيک رياضي, مقالة مشهورش در سال ۱۹۰۶ دربارة ديناميک الکترون بود. او سالهاي زيادي راجع به شالوده هاي فيزيک فکر کرده بود, و مستقل از اينشتين بسياري از نتايج مربوط به نظرية نسبيت خاص را به دست آورده بود. فرق اساسي در اين بود که بررسي اينشتين متکي بر ايده هاي مقدماتي مربوط به علامتهاي نوري بود, حال آنکه بررسي پوانکاره بر پاية نظرية
الکترومغناطيس بنا شده بود و بنابراين از نر کاربردي به پديده هاي مربوط به اين نظريه محدود بود. پوانکاره احترام زيادي براي استعداد اينشتين قايل بود, و در سال ۱۹۱۱ انتصاب اينشتسن را به اولين سمت دانشگاهي اش توصيه کرد.
در سال ۱۹۰۲ به عنوان يک سرگرمي جنبي, و ضمن کوششي براي سهيم کردن افراد غير متخصص در اشتياق خود به معنا و اهميت انساني رياضيات و علوم, به نويسندگي و سخنراني براي اقشار وسيعتري از مردم روي آورد. اين کارهاي سبکتر او در چهار کتاب تحت عناوين علم و فريضه ( ۱۹۰۳ ), ارزش علم
۱۹۰۴ ), علم و روش( ۱۹۰۸ ) و آخرين انديشه ها( ۱۹۱۳ ) گردآوري شده اند. اين کتابها واضح, لطيف, عميق, ) و رويهمرفته لذت بخش هستند, و نشان مي دهند که پوانکاره يکي از بهترين نثر نويسان فرانسه است.
در مشهورترين اين مقالات, يعني مقالة مربوط به کشف رياضي, او به خويشتن نگريست و فرايندهاي مغزي خود را تحليل کرد, و با انجام ان کار تصاوير نادري از مغز يک نابغه در هنگام کار را, عرضه کرد. همانطور که ژوردن در سوگندنامة پوانکاره نوشت، « يکي از دلايل فراوان جاودانگي پوانکاره اين است که با ما امکان داد تا در عين اينکه او را مي ستاييم, وي را بشناسيم».
گفته مي شود که در حال حاضر دانش رياضي هر ده سال يا در اين حدود, دو برابر مي شود, هر چند که عده اي راجع به تداوم اين مقدار انباشتگي ترديد دارند. عمومًا اعتقاد براين است که اکنون براي هر انساني امکان درک کامل بيش از يک يا دو شاخه از چهار شاخة اصلي رياضيات, يعني آناليز, جبر, هندسه و نظرية اعداد, (بدون احتساب فيزيک رياضي) وجود ندارد. پوانکاره تسلط خلاقي بر تمام رياضيات زمان خود داشت, و احتمالاً پس از او هرگز کسي به اين مقام نخواهد رسيد.

زمینه تاریخی پارادوکس

 پیدایش پارادوکس ها زمینه تاریخی دارد.برای فهم بهثر ان داستان زیر را ذکر میکنیم:

در یک روز جمعه دادگاه شخصی را به مرگ محکوم کرد. قاضی به زندانیِ محکوم گفت:

ظهریکی از روزهای هفته‌ی آینده حکم اعدام درباره‌ی تو اجرا خواهد شد، ولی ما آنروز را برای تو مشخص نخواهیم کرد و تو هرگز قبل از آن روز اطلاع پیدا نخواهی کرد و فقط شش ساعت قبل یعنی صبحِ روز اجرای حکم موضوع را به تو اطلاع خواهیم داد.

قاضیِ مذکور در همه‌ی عالم به ذکاوت و خوش‌قولی مشهور بود و همیشه دقیقاً به گفته‌ی خود عمل می‌نمود.

زندانی به همراهی وکیل مدافع خود به سلولش داخل شد و هر دو غمزده در گوشه‌ای به فکر فرو رفتند. ناگاه وکیل مدافع با لبخندی پیروزمندانه سکوت را شکست و گفت:

اجرای حکم قاضی امکان ندارد.

زندانی گفت:

من که چیزی سردر نمی‌آورم. چرا؟

وکیل مدافع پاسخ داد:

اجازه بده تا درست برایت شرح دهم: مسلماًً آن‌ها روز جمعه نمی‌نتوانند تو را اعدام کنند. به دلیلِ اینکه اگر فرضاً بخواهند در روز جمعه‌ی آینده حکم را اجرا نمایند. در این صورت تو تمام روزهای هفته و همچنین بعدازظهر پنج‌شنبه زنده خواهی بود و چون فقط روز جمعه یعنی یک روز دیگر به مهلت باقی مانده، بعد ازظهر پنج‌شنبه برای تو مسلم خواهد شد که فردا یعنی روز جمعه و تنها روز آخر هفته ، حکم اجرا خواهد شد. در نتیجه تو روز اجرای حکم را یک روز پیش‌تر پیش‌بینی و قبل از صبح جمعه از آن اطلاع حاصل کرده‌ای و این موضوع نقض حکم قاضی بوده و گفته‌ی او را بی‌اعتبار خواهد کرد.
زندانی گفته‌ی او را تصدیق کرد.وکیل مدافع ادامه داد:
بنابراین روز جمعه‌ی آینده از فهرستِ روزهای مهلت حذف و در آن روز حکم غیرقابل اجرا است. و اما روز پنج‌شنبه نیز نمی‌توانند تو را اعدام کنند چون در بعدازظهرِ چهارشنبه دو روز بیشتر به آخر هفته نمانده و چون روز جمعه از فهرست حذف شد ، تنها روز پنج‌شنبه آخرین روز اجرای حکم می‌باشد نتیجتاً بعدازظهر چهارشنبه تو خواهی دانست در روز پنج‌شنبه که آخرین روز امکان اجرای حکم است، تو را اعدام خواهند کرد. اطلاع تو یک روز پیشتر از اجرای حکم مجدداً متناقض با حکم قاضی است. بنابراین پنج‌شنبه نیز حکم غیرقابل اجرا است. چهارشنبه نیز امکان اجرای حکم وجود ندارد چون جمعه و پنج‌شنبه حکم غیرقابل اجرا شد و فقط چهارشنبه آخرین روز اجرای حکم تشخیص داده شد و تو که بعدازظهر سه‌شنبه هنوز زنده هستی، اجرای حکم روز چهارشنبه را پیش‌بینی خواهی کرد و از آن اطلاع خواهی یافت.
در این موقع که زندانی از حالت غمزدگی بیرون آمده بود با لبخندی مسرت‌بخش گفت:
پس به هر طریق می‌توان گفت که روز سه‌شنبه و سپس دوشنبه و بالاخره یک‌شنبه نمی‌توانند مرا اعدام کنند و فقط فردا یعنی شنبه باقی است. و اما فردا نیز اجرای حکم برای آنها غیرممکن است چون در این صورت من امروز موضوع را خواهم فهمید.

ملاحظه می‌شود از لحاظ منطقی هیچ تناقضی در حکم قاضی جهت اعدام زندانی وجود ندارد با این وجود حکمش غیرقابل اجرا است. به دلایل بالا به نظر می‌آید که حکم قاضی باعث نقض حکم خودش شده است، اگر حکم را اجرا کند خلاف حکم خودش شده است، اگر حکم را اجرا کند خلاف حکم خود عمل کرده و اگر اجرا نکند باز هم خلاف حکم خود رفتار نموده.


روایت دیگری از این پارادکس از یک اعلامیه‌ی فرمانده‌ی نظامی گفتگو می‌کند که در آن ذکر شده:
برای تمرین ، در یکی از شبهای هفته‌ی آینده آژیر خطر کشیده خواهد شد. شب تمرین در شش بعدازظهر همان روز به اطلاع عامه خواهد رسید و تا شش بعدازظهر کسی از شب موعود مطلع نخواهد شد.


به ظاهر چنین به نظر می رسد که خود این اعلامیه ثابت می‌کند که تمرین هرگز انجام نخواهد گرفت. به زبان دیگر اجرای تمرین عملی نیست مگر این که به متن اعلامیه عمل نشود.

پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسائل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.  

اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تئوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارائه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسائل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارائه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارائه گردید.
بسیاری از مسائل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسائل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کارآیی و توان علم احتمال را نشان می دهند.

برگرفته از مقاله دکتر رجالی-دانشگاه اصفهان
با تشکر از وبلاگ لبخند ریاضی

دیوید هیلبرت

هیلبرت به عنوان یک دانشجو و عضو هیئت علمی کونیتزبرگ،دانشجوی لیندمان و دوست هوریتس بود. همه کارهای او تا سال 1897 به جبر و نظریه اعداد منحصر نمی شود.بلکه با انتشار متنی که تصور می رفت گزارشی در باب نظر جبری اعداد باشد موجب تلاش مجدد و خلاق در این موضوع گردید که هدف تحقیقات قرن بیستم قرار گرفت.هیلبرت آنالیزدانی قوی بود.

لئونارد اویلر(1707-1783)

اویلر ریاضیدانی افسانه ای بود.او بیش از 500مقاله به چاپرساند و 350 مقاله مقاله دیگر وی پس از مرگش بهچاپ رسید. کتابهای درسی بسیاری از وی به چاپ رسیده است:جبر،مثلثات،حسابان حساب تغییرات و ... اودر بیست سالگی یک چشم خود را از دست داد وقبل از 60 سالگی کاملاًنابینا شد.با این وصف ازخلاقیت او کاسته نشد(اوبه چشمهایش نیازی نداشت.وی میتوانست 17 جمله یک سری پیچیده را با 50رقم دقت به طور ذهنی جمع کند.)

محمد بن موسی خوارزمی

نخستین ریاضیدان بر جسته جهان اسلام که تاریخ این علم در میان مسلمانان با وی آغاز شده است.کتاب وی«الجبر و المقابله»استشاهدی از تاثیر وی در مغرب زمین این است که صورت لاتینی نام وی،آلگاریتم(Algorism) مدت درازی در اغلب زبانهای اروپایی به معنی علم حساب بوده است.و هم اکنون این کلمه برای بیان روش دوری از محاسبه می آید که صورت قاعدهای پیدا کرده است.

غیاث الدین جمشید کاشانی

وی از نوابغ ریاضی قرن نهم محسوب میشود و یکی از کارهای مهم او این است که عدد π را با دقتی که تقریباً تا یکصد و پنجاه سال بعد از وی بی رقیب ماند محاسبه کرد.آثار معروف کاشانی عبارتند از:«1-زنج خاقانی 2-سلم السما 3-رساله محیطیه 4-رساله وتر و جیب 5-مفتاح المحساب»

پرنس الیزابت یک زن ریاضی دان

پرنس الیزابت از پاییز سال 1641 در دهکده ای آرام در هلند با مادر زندگی دهقانی داشت.این دختر صاحب معلومات و مطالعات فراوان بود.بعد از آنکه شش زبان آموخت متوجه علوم ریاضیات گردید.برخی از مورخان برای انکه اشتهای غیر عادی و عطش وافر زن جوان را به علوم توجیه کنند ان را به درد عشق نسبت داده اند،اما نه علوم مختلف و نه علوم ریاضی قادر به امتناع روح او نبوده اند. هنگامی که کتاب دکارت انتشار یافت بلافاصله فهمید که چه چیزی برای او لازم است و بعد از مدتی به شاگردی استاد خویش یعنی رنه دکارت در آمد.چیزی نگذشت که او از بهترین شاگردان استاد خود شد چنانکه دکارت رسماً در همه جا اعلام میداشت که"وی مابین مریدان من تنها کسی است که کاملاً آثار را درک کرده است."در این زمان دکارت در مبحث هندسه تحلیلی مسئله ای را طرح کرده از گروه مسائلی که با قدرت خشک و هماهنگ هندسه تحلیلی مقدماتی رام نمی گردند چنانچه همه از حل ان عاجز ماندند.الیزابت این مسئله را حل کرد.وقتی دکارت راه حل اورا دید اظهار داشت که خود او هرگز حاضر به انجام چنین کاری نبوده است یا لا اقل برای انجام آن 1 ماه وقت نیاز داشته است.ریاضیدان جوان تا آخرین لحظه های عمر استاد خویش با وی همکاری کرد و حتی گاه شنونده دردها و غم های فراوان استاد خویش بود!!!